Erscheinungsformen

Rechenschwächen können in verschiedenen Ausprägungen vorliegen und mit verschiedenen Erscheinungsformen auftreten. Zumeist können Rechenschwache die Zahlsymbole (Ziffern) lesen und Zahlnamen entsprechende Zahlsymbole zuordnen. Sie verbinden mit Zahlnamen und Zahlsymbolen jedoch nicht deren abstrakte Mengenbedeutung und sie denken Zahlen nicht in ihren Mächtigkeitsbeziehungen zu den anderen Zahlen. Die folgenden Beispiele verdeutlichen dies:

Ohne Einsicht in die Mengenbedeutung von Zahlen und deren Relationen zu den anderen Zahlen muss nach der Berechnung von 3 + 4 = 7 und die Aufgabe 3 + 5 erneut ausgerechnet werden. Der Zusammenhang zwischen beiden Aufgaben wird nicht erfasst. Zwar hören rechenschwache Kinder die Zahlnamen und sehen die Zahlsymbole korrekt, jedoch verstehen sie deren abstrakte Mengeninhalte nicht. Aus diesem Grund stellen sie keinen Zusammenhang zwischen den Namen "vier" und "fünf" bzw. zwischen den Zeichen "4" und "5" her. Sie erfassen keine Erhöhung um eins und können nicht auf die Lösung von 3 + 5 schließen. Ältere Kinder haben die Aufgabensätze im Bereich bis 10 häufig auswendig gelernt. Die mangelnden Einsichten fallen dann im höheren Zahlbereich auf: nach 7 + 8 = 15 müssen 7 + 18 und 17 + 18 komplett neu berechnet werden. Es wird keine Erhöhung um 10 erfasst.

Ein weiteres Beispiel ist die Lösung der Aufgabe 7 – 6. Diese ist bei vorliegender Einsicht in die Mengenbedeutung der beiden Zahlen (6 = 6 x 1; 7 = 7 x 1) und der darauf basierenden Einsicht in deren Mengenbeziehung (6 ist eins weniger als 7; 7 ist eins mehr als 6) sowie bei Kenntnis des Operationszeichens keine schwierige Aufgabe. Die Lösung kann aus diesem Wissen abgeleitet werden. Rechenschwache verfügen nicht über dieses Wissen um die logischen Zahlbeziehungen. Die Lösung wird nicht in dem beschriebenen Sinne gewusst, sondern muss ausgezählt oder auf andere Weise kompensatorisch hervorgebracht werden. Ältere rechenschwache Kinder haben die Aufgabensätze bis 10 häufig auswendig gelernt und scheitern dann an Aufgaben wie 21 – 19, die bei Kenntnis der Zahlbeziehungen ebenfalls keine Lösungsanstrengung erfordern.

Es lassen sich verschiedene Typen von Rechenschwachen an Hand ihrer Verfahren unterscheiden, mit denen sie anstelle des "verständigen Rechnens"[ 3 ] Ergebnisse produzieren. Die Ersatzformen des Rechnens generieren sich unter den schulischen und sozialen Zwängen trotz mangelnder logischer Einsichten Ergebnisse hervorbringen zu müssen.

In den ersten Schuljahren ist der Typus des Zählers am häufigsten vertreten. Ohne Einsicht in die elementare mathematische Logik bedeutet für den Zähler jede Aufgabe eine erneute Aufforderung zum Auszählen. Seine Zählschritte kontrolliert er dabei zumeist mit Hilfe seiner Finger oder anderer zählbarer Objekte. Wegen der Buchführung mittels konkreter Dinge wird diese Form der Rechenschwäche als Konkretismus bezeichnet. Häufig entwickelt sich dieser Typus zum mentalen Konkretismus. Dabei erfolgt die Buchführung mit Hilfe vorgestellter Fingermengen oder anderer vorgestellter Objekte.

Das Zählen, insbesondere das Zählen an mental visualisierten Mengenbildern erfordert ein hohes Maß an Konzentration. Es führt daher zu einer schnellen Ermüdung, zu nachlassender Aufmerksamkeit und zu einer wachsenden Fehlerzahl durch unkontrollierte Buchführung. Weitere Grenzen ergeben sich aus dem Verfahren der Kontrolle der Zählschritte bei langen Zählwegen. An den Fingern kann nur eine begrenzte Anzahl von Zählschritten erfasst werden. Bei vielen Zählschritten gerät das Verfahren außer Kontrolle. Aus dem fortgesetzten Zählen resultieren keine mathematischen Einsichten, stattdessen wird es vom Zähler für das Rechnen selbst gehalten. Das permanente Zählen verhindert damit jede sachlogische Einsicht; der Konkretismus verfestigt sich.

Das Zählen verweist auf eine Genese von Rechenschwächen im mathematischen Anfangsunterricht. Häufig wird es begleitet durch das Auswendiglernen von Aufgabensätzen und Regeln. Da die logische Begründung der Regeln unverstanden ist, können diese nur als Einzelfakten auswendig gelernt werden. Das laufende "Einpauken" von Einzelfakten stößt an Kapazitätsgrenzen und führt ebenfalls zu keinem mathematischen Verständnis.

Im Verlauf des Mathematikunterrichtes werden zunehmend Algorithmen zum Lösen von Rechenaufgaben bis hin zu den so genannten schriftlichen Verfahren vorgestellt und eingeübt. Für das rechenschwache Kind bieten das Training und das sture Abarbeiten dieser Algorithmen die Möglichkeit zum Hervorbringen korrekter Ergebnisse, teilweise in einer passablen Zeit. Aus dem Zähler wird der begriffslose Mechaniker. Dieser rechnet alles mittels der antrainierten Algorithmen aus, ohne zu verstehen, was und wie er rechnet. Es werden auch Aufgaben wie 21 – 19 (mit der Ziffernfolge 02) oder 200 – 199 (mit 001) schriftlich ausgerechnet. Die Ergebnisse verweisen auf das rein schematische Abarbeiten des Algorithmus - Ziffer für Ziffer wird verrechnet - ohne Reflektion der abstrakten Wertigkeiten und Wertigkeitsbeziehungen der Zahlen. In die Algorithmen des begriffslosen Mechanikers sind häufig Zählstrategien integriert. Da die Logik der Verfahren unverstanden ist, erfolgen Abwandlungen der Algorithmen, die ausschließlich der subjektiven Logik des Mechanikers folgen. Ohne kardinales Zahlverständnis kann nicht geschätzt werden. Mangels sachlogischer Einsichten verfügt der begriffslose Mechaniker über keine Anhaltspunkte zur Kontrolle seiner Vorgehensweisen und seiner Ergebnisse. Er kann beim Lösen von Aufgaben nur seiner subjektiven, aus mathematischer Sicht fehlerhaften bis abstrusen Logik folgen.

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